Прямоугольник высота 1, ширина 6. Его нужно разрезать на прямоугольники высотой 1, шириной 3 и высотой 1, шириной 4. Сколько существует способов?

Задача сводится к нахождению числа способов разрезать прямоугольник размером 1 × 6 на меньшие прямоугольники, размеры которых 1 × 3 и 1 × 4. Для этого нужно рассмотреть все возможные способы разрезания.

Рассмотрим процесс разрезания прямоугольника высотой 1 и шириной 6. Поскольку оба меньших прямоугольника имеют высоту 1, мы фактически разбиваем прямоугольник по ширине. Задача заключается в том, чтобы составить ширину 6 из отрезков длиной 3 и 4.

Пусть $x$ — это количество прямоугольников шириной 3, а $y$ — количество прямоугольников шириной 4. Мы должны найти такие $x$ и $y$, что:

$$3x+4y=6$$

Теперь решим это уравнение целыми числами. Переберем все возможные значения $y$ (так как $y$ должно быть целым числом, не превышающим 6):

1. Если $y=0$, то у нас $3x=6$, то есть $x=2$.
2. Если $y=1$, то у нас $3x+4=6$, то есть $3x=2$, что не имеет целых решений.
3. Если $y=2$, то у нас $3x+8=6$, что также не имеет целых решений.

Итак, единственное решение, которое подходит, это $x=2$ и $y=0$. Это означает, что нам нужно два прямоугольника 1 × 3 и ни одного прямоугольника 1 × 4.

Теперь посчитаем количество способов разрезания. Мы должны разместить два прямоугольника 1 × 3 в прямоугольнике 1 × 6. Для этого нужно выбрать 2 позиции из 2 для прямоугольников 1 × 3, что можно сделать только одним способом, поскольку оставшаяся часть будет автоматически занята.

Таким образом, существует только один способ разрезать прямоугольник 1 × 6 на прямоугольники 1 × 3 и 1 × 4.